Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  2

  2

  π
• C、

  1

  6

  π
• D、

  1

  6

Answer 1

分析：本題是幾何概型問(wèn)題，欲求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率，先由與點(diǎn)A距離等于a的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)八分之一個(gè)球面，求出其體積，再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法求解即可．

解答：解：本題是幾何概型問(wèn)題，
與點(diǎn)A距離等于a的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)八分之一個(gè)球面，
其體積為：V₁=，

1

8

×

4π

3

×a3=

π

6

a3，
“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為：

1

8

×

4π

3

×a3=

π

6

a3，
則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為：

π 6 a3

a3

=

1

6

π．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查幾何概型、幾何概型的應(yīng)用、幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．