Question

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A．某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40

2

海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+θ（其中cosθ=

5 26

26

，0°＜θ＜90°）且與點(diǎn)A相距10

13

海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；
（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進(jìn)入危險(xiǎn)水域，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）由余弦定理，BC=

AB2+AC2-2AB•AC•θ

=10

5

，由此能求出該船的行駛速度．
（2）設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)O，由余弦定理，得cosB=

3 10

10

，從而sinB=

10

10

，由正弦定理，得AQ=40，進(jìn)而AE=55＞40=AQ，由此推導(dǎo)出船會進(jìn)入危險(xiǎn)水域．

解答： 解：（1）如圖，AB=40

2

，AC=10

13

，∠BAC=θ，cosθ=

5 26

26

，
由余弦定理，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosθ，
∴BC=

AB2+AC2-2AB•AC•θ

=10

5

，
∴該船的行駛速度為：

10 5

2 3

=15

5

（海里/小時(shí)）．
（2）如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)O，
在△ABC中，由余弦定理，得cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

402×2+102×5-102×13

2×40 2 ×10 5

=

3 10

10

，
從而sinB=

1-cos2B

=

1- 9 10

=

10

10

，
在△ABQ中，由正弦定理，得：
AQ=

ABsinB

sin(45°-∠B)

=

40 2 × 10 10

2 2 × 2 10 10

=40，
∴AE=55＞40=AQ，且QE=AE-AQ=15，
過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠B）
=15×

5

5

=3

5

＜7，
∴船會進(jìn)入危險(xiǎn)水域．

點(diǎn)評：本題考查船的行駛速度的求法，考查船是否會進(jìn)入危險(xiǎn)水域的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、余弦定理的合理運(yùn)用．