Question

在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M、N分別是AA₁、D₁C₁的中點,過D、M、N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l.

(1)畫出l的位置;

(2)設l∩A₁B₁=P,求PB₁的長;

(3)求D₁到l的距離.

Answer 1

解:(1)設過三點D、M、N的平面為α,α與平面AA₁D₁D的交線為直線DM,設DM∩D₁A₁=Q,則α與平面A₁B₁C₁D₁的交線為QN,即QN為所要畫的直線l.

 (2)設QN∩A₁B₁=P,△MA₁Q≌△MAD,

∴A₁Q=AD=A₁D₁,A₁是QD₁的中點.

∴A₁P=D₁N=,

即PB₁=a-.

(3)作D₁H⊥l于H,則D₁H的長就是D₁到l的距離.

在Rt△QD₁N中,兩直角邊D₁N=,D₁Q=2a,斜邊QN=,

∵D₁H×QN=D₁N×D₁Q,

∴D₁H=,即D₁到l的距離為.