Question

（本題12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C₁的方程；  （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C₁上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）直線AC的方程為

【解析】

試題分析：（I）設(shè)由拋物線定義，

，  M點(diǎn)C₁上，

舍去.

橢圓C₁的方程為

（II）為菱形，，設(shè)直線AC的方程為 在橢圓C₁上，設(shè)，則

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由ABCD為菱形可知，點(diǎn)在直線BD：上，∴直線AC的方程為

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了拋物線的定義及橢圓的幾何性質(zhì)。為求直線AC的方程，本題利利用了待定系數(shù)法，通過聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，確定了AC、BD的中點(diǎn)坐標(biāo)，代人已知方程，得到“待定系數(shù)”，達(dá)到了解題目的。