已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),
(1)若,求曲線在點處的切線方程;
(2)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點,求實數(shù)的取值范圍.
(1);(2)當時,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;當時,的單調(diào)遞減區(qū)間為;當時,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(3).

試題分析:(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率,再求切點坐標,最后根據(jù)點斜式直線方程求切線方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)的正負分析原函數(shù)的單調(diào)性,注意在解不等式時需要對參數(shù)的范圍進行討論;(3)根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值,根據(jù)其圖像交點的個數(shù)確定兩個函數(shù)極值的大小關(guān)系,然后解對應(yīng)的不等式.
試題解析:(1)因為,
所以
所以曲線在點處的切線斜率為.
又因為,
所以所求切線方程為,即.         2分
(2),
①若,當時,;當時,.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.                    4分
②若,
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.                    5分
③若,當時,;當時,.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.                 7分
(3)由(2)知函數(shù)上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以處取得極小值,在處取得極大值.  8分
,得.
時,;當時,.
所以上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
處取得極大值,在處取得極小值. 10分
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個不同的交點,
所以,即. 所以.        12分
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)為實數(shù),函數(shù)
(1)若,求的取值范圍;
(2)求的最小值;
(3)設(shè)函數(shù),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè),.
(1)請寫出的表達式(不需證明);
(2)求的極小值;
(3)設(shè)的最大值為,的最小值為,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ)若上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當時,方程有實根,求實數(shù)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

定義在上的函數(shù)對任意都有為常數(shù)).
(1)判斷為何值時為奇函數(shù),并證明;
(2)設(shè),上的增函數(shù),且,若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè),則使函數(shù)為奇函數(shù)的所有α值為(  )
A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè),則函數(shù)的零點位于區(qū)間(      )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a,b(a<b),使當x∈[a,b]時,f(x)的值域也是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.
(1)布林函數(shù)的等域區(qū)間是        .
(2)若函數(shù)是布林函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是          .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù),則等于                        (    )
A.B.C.D.

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