Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+ax+1（a＞0），若f（x）、g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），作函數(shù)h（x）的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，結(jié)合函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數(shù)），我們可以構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可以求出a的值
（2）由（1）中結(jié)論，我們可以得到函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零點(diǎn)分段法，我們可以將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，再由圖象，即可分析出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1，
又a＞0，
∴a=1． 
（2）由（1）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1，
∴h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x，x≥1}\\{{x}^{2}+x+2，x＜1}\end{array}\right.$，其圖象為：
有圖可知，h（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{2}$，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，零點(diǎn)分段法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中利用零點(diǎn)分段法將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，畫出圖象是解答本題的關(guān)鍵．