Question

13．已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，若f（-1）=0，則滿足不等式（x-1）f（lnx）＜0的x的取值范圍是多少．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，故由（x-1）f（lnx）＜0 可得①$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{f（lnx）＜0}\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{f（lnx）＞0}\end{array}\right.$．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，且f（-1）=0．
函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖如圖所示：
故由（x-1）f（lnx）＜0 可得，
①$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{f（lnx）＜0}\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{f（lnx）＞0}\end{array}\right.$．
由①可得1＜x＜e．
由②可得x＜$\frac{1}{e}$．
綜上可得，（x-1）f（lnx）＜0的解集為（-∞，$\frac{1}{e}$）∪（1，e）．

點評 本題主要考查求函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．