Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值；

（3）是否存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，使點(diǎn)為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由是等腰直角三角形，可得，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，的橫坐標(biāo)分別為，求出的最大值，即可求得面積的最大值；
（3）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且使點(diǎn)為的垂心，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，即可求得結(jié)論．

解：（1）由是等腰直角三角形，可得，

故橢圓方程為；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，的橫坐標(biāo)分別為，
將線的方程為代入橢圓方程，

消元可得，

∴，

，
，
令，則
令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
又面積，

∴△AOB面積的最大值為；
（3）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且使點(diǎn)為的垂心，
設(shè)，
因?yàn)?/span>，所以．
于是設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，

消元可得．
由，得，且,

由題意應(yīng)有，所以，
所以．
整理得．
解得或．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，不存在，故舍去．
∴當(dāng)時，所求直線存在，且直線l的方程