Question

求函數y=的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：法一：去分母，原式化為sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=，利用三角函數的有界性即可求解；
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示單位圓，則所給函數y就是經過定點P（2，2）以及該圓上的動點M（cosx，sinx）的直線PM的斜率k，故只需求此直線的斜率k的最值即可．
解答：解：法一：去分母，原式化為
sinx-ycosx=2-2y，
即sin（x-φ）=．
故≤1，解得≤y≤．
∴y_max=，y_min=．
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示單位圓，則所給函數y就是經過定點P（2，2）以及該圓上的動點M（cosx，sinx）的直線PM的斜率k，故只需求此直線的斜率k的最值即可．由=1，得k=．
∴y_max=，y_min=．
點評：本題考查了函數的值域，難度一般，關鍵是掌握數形結合的思想，數形結合法是高考中必考的數學思維方法，對此讀者要有足夠的重視．