Question

13．已知a，c為正整數(shù)，b＞0，且abc（a+b+c）=1，求（a+b）（b+c）的最小值．

Answer 1

分析 a，c為正整數(shù)，b＞0，且abc（a+b+c）=1，即ac（ab+b²+bc）=1，變形（a+b）（b+c）=ac+（ab+b²+bc），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a，c為正整數(shù)，b＞0，且abc（a+b+c）=1，即ac（ab+b²+bc）=1，
∴（a+b）（b+c）=ac+（ab+b²+bc）≥$2\sqrt{ac•（ab+^{2}+bc）}$，當(dāng)且僅當(dāng)ac=ab+b²+bc時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)a=c=1時(shí)，ab+b²+bc=b+b²+b=1，b＞0，解得b=$\sqrt{2}$-1，
因此（a+b）（b+c）的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．