若為常數(shù)，且。

（Ⅰ）求對所有的實數(shù)成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設為兩實數(shù)，且，若，求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）。

（Ⅰ）

（Ⅱ）證明見解析。


解析:

本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對值、不等式的綜合運用。

（I）恒成立

若，則，顯然成立；若，記

當時，，

所以，故只需；

當時，，

所以，故只需。

（II）如果，則的圖象關(guān)于直線對稱，

因為，所以區(qū)間關(guān)于直線對稱。

因為減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為。

如果，結(jié)論的直觀性很強。

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（x，1），
b
=（1，-sinx），函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）若x∈[0，π]，試求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若θ為常數(shù)，且θ∈（0，π），設g（x）=
2f(θ)+f(x)
3
-f（
2θ+x
3
），x∈[0，π]，請討論g（x）的單調(diào)性，并判斷g（x）的符號．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年江西省新課程高三上學期第三次適應性測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知.

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）若為常數(shù)，且，記，求的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題（江蘇卷） 題型：解答題

若為常數(shù)，且。

（Ⅰ）求對所有的實數(shù)成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設為兩實數(shù)，且，若，求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量a=(x,1),b=(1,-sinx),函數(shù)f(x)=a·b.

(1)若x∈［0,π］,試求函數(shù)f(x)的值域；

(2)若θ為常數(shù)，且θ∈(0,π),設g(x)=,x∈［0,π］,請討論g(x)的單調(diào)性，并判斷g(x)的符號.

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