Question

9．不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a．b恒成立，則正數(shù)λ的取值范圍為（　　）

• A． （0，1]
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 利用$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$，可得$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，結(jié)合不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a．b恒成立，即可得出正數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：∵$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，
∵不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a．b恒成立，λ＞0
∴0＜λ≤1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正數(shù)λ的取值范圍，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$是關(guān)鍵．