Question

已知復(fù)數(shù)z=bi（b∈R），

z-2

1+i

是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（m+z）²所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由z=bi（b∈R），化簡(jiǎn)

z-2

1+i

=

bi-2

1+i

為

b-2

2

+

b+2

2

i．根據(jù)

z-2

1+i

是實(shí)數(shù)，可得

b+2

2

=0，求得 b的值，可得z的值．
（2）化簡(jiǎn) （m+z）²為 （m²-4）-4mi，根據(jù)復(fù)數(shù)f（4）所表示的點(diǎn)在第一象限，可得

m2-4＞0 -4m＞0

，解不等式組求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵z=bi（b∈R），∴

z-2

1+i

=

bi-2

1+i

=

(bi-2)(1-i)

(1+i)(1-i)

=

(b-2)+(b+2)i

2

=

b-2

2

+

b+2

2

i．
又∵

z-2

1+i

是實(shí)數(shù)，∴

b+2

2

=0，
∴b=-2，即z=-2i．
（2）∵z=-2i，m∈R，∴（m+z）²=（m-2i）²=m²-4mi+4i²=（m²-4）-4mi，
又∵復(fù)數(shù)f（4）所表示的點(diǎn)在第一象限，∴

m2-4＞0 -4m＞0

，…（10分）
解得m＜-2，即m∈（-∞，-2）時(shí)，復(fù)數(shù)f（4）所表示的點(diǎn)在第一象限．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應(yīng)用，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．