Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為S_n，前n項(xiàng)的積為T(mén)_n，且滿足T_n=2^n（1-n）．
①求a₁；
②求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
③是否存在常數(shù)a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）對(duì)n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為S_n，前n項(xiàng)的積為T(mén)_n，且滿足T_n=2^n（1-n）．
∴a₁=T₁=2^1（1-1）=1
（2）證明：∵T_n=2^n（1-n）．
∴T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}．
將上面兩式相除，
得：a_n=2^{[-2（n-1）]}．
∴a_n=^（n-1）．
∵a_n+1=^（n）．

∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

（3）∵
∴，
∵（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）
∴（S_n+1-a）²=
而：（S_n+2-a）（S_n-a）=（S_n+2-）（S_n-）=
（S_n+1-）²=（S_n+2-）（S_n-）對(duì)n∈N⁺都成立
即：存在常數(shù)a=，使（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）對(duì)n∈N⁺都成立．
分析：（1）由“數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為S_n，前n項(xiàng)的積為T(mén)_n，且滿足T_n=2^{n（1-n）”}令n=1可求解．
（2）證明：由T_n=2^n（1-n）解得T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}兩式相除，整理可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）由（2）求解得再求得，
代入（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）兩端驗(yàn)證可即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的類型和數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，還考查了存在性問(wèn)題，這類問(wèn)題一般通過(guò)具體的探究出來(lái)，再證明．