Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}n$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=2^-na_n求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n，再驗(yàn)證對(duì)n=1也成立，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，而b_n=2^-na_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）n=1時(shí)a₁=S₁=1，----------（2分）
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n，---------（5分）
此式對(duì)n=1也成立，∴a_n=n，n∈N^*．-------------（6分）
（Ⅱ）∵b_n=2^-na_n，∴b_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，------------（8分）
∴T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，------------①
$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，------------②
（1）-（2）得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，------------（11）
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系式的應(yīng)用及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．