Question

如圖2-2-6,在三棱錐A—BCD中,側面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1,另一個側面是正三角形.

圖2-2-6

(1)求證:AD⊥BC.

(2)求二面角B-AC-D的大小.

(3)在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證法一:作AH⊥面BCD于H,連結DH.

AB⊥BDHB⊥BD,又AD=,BD=1,

∴AB==BC=AC.

∴BD⊥DC.

又BD=CD,則BHCD是正方形,則DH⊥BC,

∴AD⊥BC.

證法二:取BC的中點O,連結AO、DO,

則有AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.

(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,因為AB=AC=BC=,∴M是AC的中點,且MN∥CD,則BM=,MN=CD=,BN=AD=,由余弦定理可求得

cos∠BMN=.

∴∠BMN=arccos.

(3)解:設E是所求的點,作EF⊥CH于F,連結FD,則EF∥AH,∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED與面BCD所成的角,則∠EDF=30°.設EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x,FD=,∴tan∠EDF=.解得x=,則CE=x=1.

故線段AC上存在E點,且CE=1時,ED與面BCD成30°角.