Question

若F₁，F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的共同焦點，點P是兩曲線的一個交點，且△PF₁F₂為等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程是（　　）

• A．3x±

  2

  y=0
• B．

  2

  x±3y=0
• C．3x±

  7

  y=0
• D．

  7

  x±3y=0

Answer 1

分析：先根據兩曲線的焦點相同，得雙曲線中參數a、b間的一個等式，再利用橢圓的定義，在橢圓中計算兩個焦半徑PF₁、PF₂，再利用雙曲線的定義，即可得雙曲線的a值，從而確定雙曲線的標準方程，進而求其漸近線方程

解答：解：∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點坐標為（±4，0），
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中c=4，a²-b²=16  ①
設P為兩曲線在第一象限的交點，則在橢圓中，△PF₁F₂為等腰三角形，∴PF₁=F₁F₂=8，∴PF₂=10-8=2
在雙曲線中，2a=PF₁-PF₂=6，∴a=3  ②
由①②得，雙曲線中a=3，b=

7

∴該雙曲線的漸近線方程是y=±

7

3

x
故選 D

點評：本題主要考查了橢圓和雙曲線的定義及其標準方程，橢圓和雙曲線的幾何性質的綜合運用，恰當的在兩曲線中研究點P的特點是解決本題的關鍵