Question

20．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₂C₃D₄中，點E，F(xiàn)分別在棱AD，BC上，且AE=BF=$\frac{1}{3}$a．過EF的平面繞EF旋轉(zhuǎn)，與DD₁、CC₁的延長線分別交于G，H點，與A₁D₁、B₁C₁分別交于E₁，F(xiàn)₁點．當異面直線FF₁與DD₁所成的角的正切值為$\frac{1}{3}$時，|GF₁|=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{19}a}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{19}a}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{2}a}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}a}{9}$

Answer 1

分析 如圖異面直線FF₁與DD₁所成的角的正切值為$\frac{1}{3}$時，就是tan∠CHF=$\frac{1}{3}$，求出CF，C₁H，C₁F，D₁C₁即可．

解答 解：如圖異面直線FF₁與DD₁所成的角的正切值為$\frac{1}{3}$時，
就是tan∠CHF=$\frac{1}{3}$，∵$CF=\frac{2}{3}a$，∴CH=2a，
即C₁H=a⇒C₁F₁=$\frac{1}{3}a$
|GF₁|=$\sqrt{{D}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{{F}_{1}}^{2}+G{{D}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}+（\frac{1}{3}a）^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{3}a$
故選：A．

點評 本題考查了空間距離，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．