Question

橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，已知橢圓Γ上的點(diǎn)P（

4

3

，

1

3

）到F₁、F₂的距離之和為2

2

；
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若橢圓上兩點(diǎn)C、D關(guān)于點(diǎn)M（1，

1

2

）對稱，求直線CD的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓Γ上的點(diǎn)P（

4

3

，

1

3

）到兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為2

2

，可得

16

9a2

+

1

9b2

=1，2a=2

2

，a²=b²+c²，解出即可．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），設(shè)P是直線CD上的任意一點(diǎn)，由

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=1，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓Γ上的點(diǎn)P（

4

3

，

1

3

）到兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為2

2

，
∴

16

9a2

+

1

9b2

=1，2a=2

2

，a²=b²+c²，
解得a=

2

，b=1，c=1．
∴橢圓Γ的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），設(shè)P是直線CD上的任意一點(diǎn)，可得

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=

1

2

，

y1-y2

x1-x2

=

y- 1 2

x-1

（x≠1）．
∵

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=1，
∴1+

y1-y2

x1-x2

=0，（x₁≠x₂）．
∴1+

y- 1 2

x-1

=0，
化為x+y-

3

2

=0，當(dāng)x=1時(shí)也成立．
∴直線CD的方程為x+y-

3

2

=0．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．