Question

3．某同學用“五點法”畫函數(shù)$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{4}{3}$π	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{2}{3}$π
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{π}{2}$
f（x）

（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并在給出的直角坐標系中，畫出f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象；
（2）求f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（3）求f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$時的值域．

Answer 1

分析 （1）先把數(shù)據(jù)補全，利用描點法能在給出的直角坐標系中，畫出f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象．
（2）利用正弦函數(shù)的圖象及性質能求出函數(shù)$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$的最小值及取最小值時x的集合．
（3）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，從而$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，由此能求出f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$時的值域．

解答 解：（1）數(shù)據(jù)補全如下表：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{4π}{3}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{2π}{3}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{π}{2}$
f（x）	$\sqrt{3}+1$	1	-1	1	3	$\sqrt{3}+1$

…（3分）
故f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象如圖所示．

…（6分）
（2）當$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$x=kπ-\frac{π}{12}，k∈Z$時，f（x）取最小值-1．
取最小值時x的集合為$\{x|x=kπ-\frac{π}{12}，k∈Z\}$．…（8分）
（3）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，…（9分）
故$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$…（11分）
所以$f（x）∈[{-\sqrt{3}+1，3}]$，即f（x）在$x∈[0，\frac{π}{2}]$時的值域為$[{-\sqrt{3}+1，3}]$．…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象的畫法，考查三角函數(shù)的最小值及取最小值時x的集合的求法，考查三角函數(shù)的值域的求法，涉及到三角函數(shù)的圖象及性質等知識點，是中檔題．