Question

已知：a≠0，f（x）=x³+ax²-a²x-1，g（x）=ax²-x-1
（1）若a＜0時，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若y=f（x）與y=g（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，求a的范圍；
（3） 若y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個不同的交點(diǎn)，記y=g（x）在區(qū)間[0，]上的最小值為h（a），求h（a）．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=0
解得：x=或-a
當(dāng)x∈（-∞，）或（-a，+∞）時，f'（x）＞0，
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，），（-a，+∞）
當(dāng)x∈時，f'（x）＜0，
∴減區(qū)間為（4分）
（2）當(dāng)a＜0時，則有
得a∈（-∞，-1]（7分）
當(dāng)a＞0時，則有
得（10分）
所以
（3）由x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1得x（x²-a²+1）=0有三個解，
所以a＞1或a＜-1 （12分）
得（16分）
分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論a的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間是區(qū)間的子集建立方程組，解之即可；
（3）欲使y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個不同的交點(diǎn)，則x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1有三個解，可求出a的范圍，根據(jù)a的范圍求出y=g（x）在區(qū)間[0，]上的最小值為h（a）即可．
點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，以及圖象交點(diǎn)的問題，常常轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)，屬于中檔題．