Question

已知：a≠0，f（x）=x³+ax²-a²x-1，g（x）=ax²-x-1
（1）若a＜0時(shí)，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若y=f（x）與y=g（x）在區(qū)間(a，a+

1

2

)上是增函數(shù)，求a的范圍；
（3） 若y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記y=g（x）在區(qū)間[0，

1

4

]上的最小值為h（a），求h（a）．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論a的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間是區(qū)間(a，a+

1

2

)的子集建立方程組，解之即可；
（3）欲使y=f（x）與y=g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1有三個(gè)解，可求出a的范圍，根據(jù)a的范圍求出y=g（x）在區(qū)間[0，

1

4

]上的最小值為h（a）即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=0
解得：x=

a

3

或-a
當(dāng)x∈（-∞，

a

3

）或（-a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，

a

3

），（-a，+∞）
當(dāng)x∈(

a

3

，-a)時(shí)，f'（x）＜0，
∴減區(qū)間為(

a

3

，-a)（4分）
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，則有

a+ 1 2 ≤ a 3 或-a≤a a+ 1 2 ≤ 1 2a

得a∈（-∞，-1]（7分）
當(dāng)a＞0時(shí)，則有

a+ 1 2 ≤-a或 a 3 ≤a a≥ 1 2a

得a∈[

2

2

，+∞)（10分）
所以a∈(-∞，-1]∪[

2

2

，+∞)
（3）由x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1得x（x²-a²+1）=0有三個(gè)解，
所以a＞1或a＜-1  （12分）
得h(a)=

- 1 4a -1(a≥2) a 16 - 5 4 (a＜-1或1＜a＜2)

（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，以及圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)，屬于中檔題．