Question

如圖，向量

OA

和

OB

分別經(jīng)過矩陣M變換成

OA′

成和

OB′

．這個(gè)矩陣M將曲線y=sin（x+

π

3

）變換成曲線y=f（x），求f （x）在區(qū)間[-

π

3

，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二階矩陣與平面向量的乘法

專題：選作題,矩陣和變換

分析：二階矩陣把點(diǎn)變換成點(diǎn)，利用待定系數(shù)法及二階矩陣與平面列向量的乘法，可求矩陣M，從而可得曲線y=f（x），即可求f （x）在區(qū)間[-

π

3

，2π]上的最大值和最小值．

解答： 解：待定系數(shù)設(shè)M=

a b c d

，
∵向量

OA

和

OB

分別經(jīng)過矩陣M變換成

OA′

成和

OB′

，
∴

a b c d

1 1

=

2 2

，

a b c d

1 2

=

2 4

，
∴

a+b=2 a+2b=2

，

c+d=2 c+2d=4

，
∴a=2，b=0，c=0，d=2，
∴M=

2 0 0 2

；
在M的作用下，

x= x′ 2 y= y′ 2

 再坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法得曲線y=sin（x+

π

3

）變換成曲線y=f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）
∵x∈[-

π

3

，2π]，
∴

x

2

+

π

3

∈[

π

6

，

4π

3

]，
∴2sin（

x

2

+

π

3

）∈[-

3

，1]．
∴f （x）在區(qū)間[-

π

3

，2π]上的最小值為-

3

，最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：由矩陣M確定的變換，通常記為T_M，根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在T_M，的作用下得到一個(gè)新的圖形．通過變換矩陣建立所求曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵．