Question

已知橢圓的兩個焦點分別為，且，點在橢圓上，且的周長為6.

（1）求橢圓的方程；（2）若點的坐標為，不過原點的直線與橢圓相交于不同兩點，設線段的中點為，且三點共線．設點到直線的距離為，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）本小題中為焦點三角形，其周長為，又，兩式組成方程組從而易求出，即可寫出橢圓方程；（2）本小題中直線的方程可設為（其中不存在是不可能的），與橢圓方程聯立消y,利用韋達定理與中點坐標公式，可得M點坐標（用k,m表示），當三點共線，則有即可解出k的值，又消y后的方程的可得m的范圍，而點到直線的距離可用m表示，利用函數觀點可求出的取值范圍．

試題解析：（1）由已知得，且，解得，又，所以橢圓的方程為.

（2）當直線與軸垂直時，由橢圓的對稱性可知：點在軸上，且與原點不重合，顯然三點不共線，不符合題設條件．所以可設直線的方程為，由消去并整理得： ①

則，即，設，且，則點，因為三點共線，則，即，而，所以，此時方程①為，且

因為，所以.

考點：橢圓的定義及標準方程，性質，直線與橢圓相交問題，設而不解思想，韋達定理，方程與函數思想，化歸思想.