Question

9．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{x}$+1，曲線y=f（x）在點（1，2）處切線平行于x軸．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，不等式（x-1）f（x）＞（x-k）lnx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令m（x）=x²+（k-1）x+1，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f′（x）=\frac{a}{x}-\frac{x^2}$，且直線y=2的斜率為0，又過點（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{b=1}\\{a-b=0}\end{array}}\right.$解得a=1，b=1．
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，不等式$f（x）＞\frac{{（{x-k}）lnx}}{x-1}?（{x-1}）lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x}＞（{x-k}）lnx?（{k-1}）lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x}＞0$．
令$g（x）=（{k-1}）lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x}，g′（x）=\frac{k-1}{x}+1+\frac{1}{x2}=\frac{{{x^2}+（{k-1}）x+1}}{x^2}$，
令m（x）=x²+（k-1）x+1，
①當(dāng)$\frac{1-k}{2}≤1$，即k≥-1時，m（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增且m（1）≥0，
所以當(dāng)x＞1時g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（1）=0．即$f（x）＞\frac{{（{x-k}）lnx}}{x-1}$恒成立．
②當(dāng)$\frac{1-k}{2}＞1$，即k＜-1時，m（x）在$（{1，\frac{1-k}{2}}）$上單調(diào)遞減，且m（1）＜0，
故當(dāng)$x∈（{1，\frac{1-k}{2}}）$時，m（x）＜0即g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在$（{1，\frac{1-k}{2}}）$單調(diào)遞減，
當(dāng)$x∈（{1，\frac{1-k}{2}}）$時，g（x）＜0，與題設(shè)矛盾，
綜上可得k的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．