Question

8．已知離心率為e的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-4}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞2）的上、下焦點分別為F₁和F₂，過點（0，2）且不與y軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點，若△MNF₂為等腰直角三角形，則e=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{6}$$-\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點，準線方程，設△MNF₂為等腰直角三角形，且MN=NF₂，MN⊥NF₂，設N到下準線的距離為m，M到上準線的距離為n，由橢圓的第二定義，結合合分比性質，以及勾股定理，解方程可得a，再由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-4}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞2）的上、下焦點
分別為F₁（0，2），F(xiàn)₂（0，-2），
離心率e=$\frac{2}{a}$，準線方程為y=±$\frac{{a}^{2}}{2}$，
如圖△MNF₂為等腰直角三角形，且MN=NF₂，MN⊥NF₂，
設N到下準線的距離為m，M到上準線的距離為n，
由橢圓的定義可得，e=$\frac{N{F}_{2}}{m}$=$\frac{N{F}_{1}}{{a}^{2}-m}$=$\frac{M{F}_{1}}{n}$=$\frac{M{F}_{2}}{{a}^{2}-n}$，
即有$\frac{N{F}_{2}}{m}$=$\frac{MN}{{a}^{2}-m+n}$=$\frac{M{F}_{2}}{{a}^{2}-n}$=$\frac{\sqrt{2}MN}{{a}^{2}-n}$=$\frac{MN}{m}$，
則2m-n=a²，（$\sqrt{2}$+1）n-$\sqrt{2}$m=（1-$\sqrt{2}$）a²，
解得m=（2-$\sqrt{2}$）a²，
又NF₁²+NF₂²=F₁F₂²=16，
即有（$\frac{2}{a}$（a²-m））²+（$\frac{2}{a}$•m））²=16，
代入m，解方程可得a=$\frac{2}{3}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$），
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\frac{2}{3}（\sqrt{6}+\sqrt{3}）}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查比例的性質和勾股定理的運用，考查化簡整理的運算能力，具有一定的難度．