Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-3|．
（1）解不等式：f（x）≤4；
（2）對?x∈R，a²-|a|≤f（x），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點法，去除絕對值符號，解相應(yīng)的不等式，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）先利用絕對值三角不等式求f（x）的最小值，進而利用零點分段法，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當x＜1時，不等式f（x）≤4可化為：4-2x≤4，解得：x≥0，
∴0≤x＜1；
當1≤x≤3時，不等式f（x）≤4可化為：2≤4，恒成立；
當x＞3時，不等式f（x）≤4可化為：2x-4≤4，解得：x≤4，
∴3＜x≤4，
綜上可得：原不等式的解集為：[0，4]；
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-3|=|1-x|+|x-3|≥|1-x+x-3|=2．
若對?x∈R，a²-|a|≤f（x），
則a²-|a|≤2，
當a≥0時，即a²-a-2≤0，解得：-1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
當a＜0時，即a²+a-2≤0，解得：-2≤a≤1，
∴-2≤a＜0，
綜上可得實數(shù)a的取值范圍為：[-2，2]．

點評 本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，零點分段法，難度中檔．