Question

13．在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，∠DAB=45°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{FC}$=3$\overrightarrow{DF}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值是（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 畫出圖形，根據(jù)條件即可得出$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CF}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，進(jìn)而求出$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，這樣帶入$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．

解答 解：如圖，
E為BC中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{FC}=3\overrightarrow{DF}$；
∴$\overrightarrow{CF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{5}{8}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{4}×4+\frac{1}{2}×2$
=$-\frac{3}{4}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，共線向量基本定理，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．