Question

設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且=2，=0；

（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲線C上除去原點外的不同三點，且，，成等差數(shù)列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標．

 

Answer 1

（1）y2=4x．

（2）（1，2）或（1，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）設出N的坐標，確定，的坐標，利用=0，可得點N的軌跡C的方程；

（2）先確定線段AD的垂直平分線的斜率、AD的斜率，可得方程，利用點B在拋物線上，即可求得點B的坐標．

【解析】
（1）設N（x，y），由=2，得點P為線段MN的中點，∴P（0，），M（﹣x，0），

∴=（﹣x，﹣），=（1，﹣）．

由=﹣x+=0，得y2=4x．

即點N的軌跡方程為y2=4x．

（2）由拋物線的定義，知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，|DF|=x3+1，

∵，，成等差數(shù)列，

∴2x2+2=x1+1+x3+1，即x2=．

∵線段AD的中點為（，），且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0），

∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=．

又kAD=，∴•=﹣1，

即=﹣1．

∵x1≠x3，∴x1+x3=2，又x2=，∴x2=1．

∵點B在拋物線上，

∴B（1，2）或（1，﹣2）．