Question

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿(mǎn)6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．求：
（Ⅰ）打滿(mǎn)3局比賽還未停止的概率；
（Ⅱ）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分別列與期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）打滿(mǎn)3局比賽還未停止即在三局比賽中沒(méi)有人連勝兩局，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且互斥，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，分別求出ξ取每一個(gè)值的概率，列出分布列即可．
解答：解：令A(yù)_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．
（Ⅰ）由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知，打滿(mǎn)3局比
賽還未停止的概率為．
（Ⅱ）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，且，．．，，
故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P

從而（局）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識(shí)，同時(shí)考查利用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力．