Question

5．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，AD=10，AA₁=6，點(diǎn)P在棱C₁D₁上，且D₁P=6．
（1）求三棱錐P-A₁CD的體積；
（2）請(qǐng)作圖：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P在上底面內(nèi)畫(huà)一條直線和PB垂直；
（3）請(qǐng)作圖：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作長(zhǎng)方體的一個(gè)截面，且截面圖形為正方形．（注意：要求寫(xiě)出作法，明確所作直線與棱的交點(diǎn)的位置，不需要給出證明過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）過(guò)D₁作D₁M⊥A₁D，則D₁M⊥平面A₁DC，所以D₁M等于棱錐的高，
（2）連結(jié)PB，PB₁，在上底面過(guò)P作PN⊥PB₁，則直線PN就是所要求的直線．
（3）在A₁B₁上取點(diǎn)E，使得A₁E=D₁P=6．在AB上取點(diǎn)F，在CD上取點(diǎn)G，使得BF=CG=2，連結(jié)PE，EF，F(xiàn)G，PG，則截面PEFG為所要求的截面．

解答 （1）過(guò)D₁作D₁M⊥A₁D，則D₁M⊥平面A₁DC，A₁D=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{136}$．
∵A₁D₁•D₁D=A₁D•D₁M，∴D₁M=$\frac{{A}_{1}{D}_{1}•{D}_{1}D}{{A}_{1}D}$=$\frac{30}{\sqrt{34}}$．
∴V${\;}_{棱錐P-{A}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}$•S${\;}_{△{A}_{1}CD}$•D₁M=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}D×DC×{D}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{136}×16×\frac{30}{\sqrt{34}}$=160．
（2）連結(jié)PB，PB₁，在上底面過(guò)P作PN⊥PB₁，則直線PN就是所要求的直線．
（3）在A₁B₁上取點(diǎn)E，使得A₁E=D₁P=6．在AB上取點(diǎn)F，在CD上取點(diǎn)G，使得BF=CG=2，
連結(jié)PE，EF，F(xiàn)G，PG，則截面PEFG為所要求的截面．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．