Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且{a_n}、{b_n}滿足條件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范圍；
（Ⅲ）若a₁=-4，令c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和V_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可解出；
（II）利用等差前n項(xiàng)和公式化為（n-5）（2a₁+n+4）≥0．由于對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，可得且，解出即可．
（III）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．利用n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1，n=1時(shí)b₁=T₁，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到b_n．利用“錯(cuò)位相減法”即可得到V_n．
解答：解：（I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由S₄=4a₃-2，得，化為6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1．
（II）由S_n≥S₅成立，得到，化為（n-5）（2a₁+n+4）≥0．
由于對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，∴且
解得．
∴．
（III）①當(dāng)a₁=-4時(shí)，a_n=-4+（n-1）×1=n-5；
②當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，化為b_n=2b_n-1．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．
∴．
∴+0+2⁶+2×2⁷+…+（n-5）•2ⁿ，
-2⁵+2⁷+2⁸+…+（n-6）•2ⁿ+（n-5）•2ⁿ⁺¹．
兩式相減得-V_n=-8+2²+2³+…+2ⁿ+（5-n）•2ⁿ⁺¹=，
化為．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、分類討論的思想方法、利用n≥2時(shí)b_n=T_n-T_n-1及n=1時(shí)b₁=T₁、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”是解題的關(guān)鍵．