如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，PA⊥平面ABCD，BF∥PA，BF=
1
3
PA，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若AP=2
6
，求幾何體PACBF的體積；
（Ⅱ）求證：DE∥平面PCF．
分析：（Ⅰ）由條件可得PA=2
6
，BF=
2
6
3
，AB=2，四邊形ABEF為梯形．再由VP-ACBF=VC-PABF=
1
3
SPABF•CB，
運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系如圖：求出平面PCF的一個(gè)法向量為
n
 的坐標(biāo)，再由
n
•
DE
=0，可得
n
⊥
DE
．
從而證得DE平面PCF．
解答：解：（Ⅰ）由條件可得PA=2
6
，BF=
2
6
3
，AB=2，
四邊形ABEF為梯形．
所以，VP-ACBF=VC-PABF=
1
3
SPABF•CB
=
1
3
（
2
6
3
+2
6
2
×2）×2=
16
6
9
．…（6分）
（Ⅱ）以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，
以AP所在的直線為z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0）、B （2，0，0）、C（2，2，0）、D （0，2，0）、
P（0，0，2
6
）、F（2，0，
2
6
3
）、E （1，0，0）．
設(shè)平面PCF的一個(gè)法向量為
n
=（ a，b，c），則由
CF
=（0，-2，
2
6
3
）、
CP
=（-2，-2，2
6
）、
n
•
CF
=0
n
•
CP
=0
，求得
n
可等于（2，1，
6
2
）．
再由
DE
=（1，-2，0），
n
•
DE
=（2，1，
6
2
）•（1，-2，0）=2-2+0=0，可得
n
⊥
DE
．
再根據(jù)
DE
不在平面PCF內(nèi)，可得所以DE平面PCF．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用等體積法求棱錐的體積，用向量法證明直線和平面平行，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖把正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，對(duì)于下面結(jié)論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結(jié)論的序號(hào)為
①③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜
2
），則MN的長(zhǎng)的最小值為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線段BE上存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為
6
3
，試確定點(diǎn)M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•溫州二模）如圖，正方形ABCD與正方形CDEF所成的二面角為60°，則直線EC與直線AD所成的角的余弦值為
2
4
2
4
．

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