Question

8．已知函數(shù)f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值；
（2）用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明：當a≤1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）當x∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，便有f（-1）=f（1），這樣即可求出a=-3，從而得到f（x）=-2x²+1-2a，根據(jù)該函數(shù)的圖象，比較f（-1）和f（3）便可求出f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值；
（2）根據(jù)減函數(shù)的定義，設任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，提取公因式，根據(jù)x₁＞x₂≥1及a≤1證明f（x₁）＜f（x₂）即可得出當a≤1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）根據(jù)條件可以得到（a+2）x+1-3a＞0在x∈[-1，3]上恒成立，從而有$\left\{\begin{array}{l}（a+2）•（-1）+1-3a＞0\\（a+2）•3+1-3a＞0\end{array}\right.$，解該不等式組便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
∴f（-1）=f（1）；
即-2-（a+3）+1-2a=-2+（a+3）+1-2a；
∴-（a+3）=a+3；
∴a=-3；
∴f（x）=-2x²+7；
∵f（3）=-2•3²+7=-11，f（-1）=-2•（-1）²+7=5；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為-11；
（2）設x₁＞x₂≥1，則：
f（x₁）-f（x₂）=$-2{{x}_{1}}^{2}+（a+3）{x}_{1}+2{{x}_{2}}^{2}-（a+3）{x}_{2}$
=$2（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）+（a+3）（{x}_{1}-{x}_{2}）$
=（x₂-x₁）[2（x₁+x₂）-（a+3）]；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₂-x₁＜0，2（x₁+x₂）＞4；
又a≤1；
∴a+3≤4；
∴2（x₁+x₂）-（a+3）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
當a≤1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）根據(jù)題意，x∈[-1，3]時，-2x²+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a恒成立；
即（a+2）x+1-3a＞0在x∈[-1，3]上恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}（a+2）•（-1）+1-3a＞0\\（a+2）•3+1-3a＞0\end{array}\right.$；
解得$a＜-\frac{1}{4}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{4}）$．

點評 考查偶函數(shù)的定義，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，不等式的性質(zhì)，函數(shù)圖象的位置關系和函數(shù)值大小的關系，要熟悉一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象．