Question

設(shè)橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，點(diǎn)M是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)M到橢圓C兩焦點(diǎn)的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），求4x₁-3y₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義以及橢圓的離心率，求解a，b，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），求出x₁-，與y₁的范圍，即可求解4x₁-3y₁的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意知，2a=4，∴a=2，
∵e=

c

a

=

2

2

，c=

2

，b=

a2-c2

=

2

．
∴所求橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）∵點(diǎn)P（x₀，y₀）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為P₁（x₁，y₁），
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為P₁（y₀，x₀）即

x1=y0 y1=x0

∵點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓C：

y2

4

+

x2

2

=1上，∴-

2

≤x0≤

2

，-2≤y₀≤2
則-

2

≤y1≤

2

，-2≤x₁≤2
∴4x₁-3y₁的取值范圍為[-8-3

2

，8+3

2

]．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，對稱知識的應(yīng)用，以及橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力．