Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（ax²-x+1），其中a∈R．
（1）若f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，若g（x）=f（x）-log₃（x-1），求g（x）的值域．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）需要分類討論，當(dāng)a=0時，當(dāng)a≠0，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可求出a的取值范圍
（2）先化簡g（x），利用換元法，求出函數(shù)的值域

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=log₃（-x+1），顯然定義域不是R，不合題意，舍去．
當(dāng)a≠0時，要使f（x）的定義域為R，則

a＞0 △=1-4a＜0

⇒a＞

1

4

．
故實數(shù)a的取值范圍（

1

4

，+∞）
（2）當(dāng)a=1時，g(x)=log3(x2-x+1)-log3(x-1)，其定義域為x∈（1，+∞）．
∴g(x)=log3

x2-x+1

x-1

(x＞1)．
令t=x-1＞0，則

x2-x+1

x-1

=

t2+t+1

t

=t+

1

t

+1≥3，
故g(x)=log3

x2-x+1

x-1

≥1，即g（x）的值域為[1，+∞）．

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題