Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求證：f（x）≥g（x）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后用a表示b，利用導(dǎo)數(shù)的工具求b的最大值，從而問題解決．
（2）先設(shè)F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，欲證f（x）≥g（x）（x＞0），只須證明F（x）在（0，+∞）上的最小值是0即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
∴

1

2

x02+2ax=3a²lnx₀+b，x₀+2a=

3a2

x0

，
由x₀+2a=

3a2

x0

得x₀=a，x₀=-3a（舍去）
即有b=

5

2

a2-3a2lna（3分）
令h（t）=

5

2

t2-3t2lnt(y＞0)，則h′（t）=2t（1-3lnt）
當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時，h'（t）＞0；
當t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時，h'（t）＜0．
故h（t）在（0，e

1

3

）為增函數(shù)，在（e

1

3

，+∞）為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

（6分）
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，
則F'（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)（10分）
故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．
故當x＞0時，有f（x）-g（x）≥0，即當x＞0時，f（x）≥g（x）（12分）

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．