Question

12．設(shè)矩陣A=$[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}]$，若矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，屬于特征值2的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$，求矩陣A．

Answer 1

分析 由矩陣A=$[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}]$，若矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，屬于特征值2的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$，列出矩陣方程組，求出m，n，由此能求出矩陣A．

解答 解：∵矩陣A=$[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}]$，矩陣A的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
屬于特征值2的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]=1•[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]}\\{[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]=2•[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{[\begin{array}{l}{m}\\{0}\end{array}]=[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]}\\{[\begin{array}{l}{0}\\{n}\end{array}]=[\begin{array}{l}{0}\\{2}\end{array}]}\end{array}\right.$，
解得m=1，n=2，
∴矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$．

點(diǎn)評 本題考查矩陣的求法，考查矩陣方程、特征值、特征向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．