Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點．
（ I）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（ II）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，線段BC的中點為M，求M到平面APB的距離d．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)條件和線面垂直的判定定理得：AD⊥平面PQB，再由面面垂直的判斷定理證明出平面PQB⊥平面PAD；
（ II）運用等體積法V_P-ABQ=V_Q-PAB，求M到平面APB的距離d．

解答 （ I）證明：連BD，四邊形ABCD菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，Q為 AD中點，
∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q為 AD中點，∴AD⊥PQ，
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD；
（ II）解：如圖，連接QM，QB，顯然QM∥平面PAB，
∴M到平面PAB的距離就等于Q到平面PAB的距離，
運用等體積法V_P-ABQ=V_Q-PAB，即$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}×d×\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴d=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查體積法的運用，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．