Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（$A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為$M（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求f（x）的解析式，對(duì)稱軸及對(duì)稱中心；
（2）該圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到；
（3）當(dāng)$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)直接距離為$\frac{π}{2}$，可得周期T，求出ω，圖象過M，帶入解出φ，可得解析式，在求對(duì)稱軸及對(duì)稱中心即可．
（2）根據(jù)平移變換的規(guī)律求解．
（2）$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）由題意，圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)直接距離為$\frac{π}{2}$，
可得$T=\frac{π}{2}×2=π$，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又∵圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為$M（\frac{2π}{3}，-2）$，且A＞0，∴A=2，$sin（{2×\frac{2π}{3}+φ}）=-1$，
∴$2×\frac{2π}{3}+φ=\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$φ=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$$又∵0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$，
因此，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
對(duì)稱軸：∵$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
∴對(duì)稱軸方程為$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
對(duì)稱中心：∵$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，
∴函數(shù)的$對(duì)稱中心為（{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，0}）（{k∈Z}）$．
（2）將y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$，得到$y=sin（{x+\frac{π}{6}}）$，再將橫坐標(biāo)縮小原來的$\frac{1}{2}$，
縱坐標(biāo)不變得到$y=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍得到$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（3）$當(dāng)x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，$則2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}]$，
∴$當(dāng)2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}時(shí)，即x=\frac{π}{6}，f{（x）_{max}}=2$，
$當(dāng)2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}時(shí)，即x=\frac{π}{2}，f{（x）_{min}}=-1$，
故得f（x）的值域是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，求解出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題