Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）+sin2x+a的最大值為1．
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若將f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a≤2+a=1，可得a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得 g（x）=2sin（2x+

2π

3

）-1．再根據(jù)x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）+sin2x+a=

3

cos2x+sin2x+a=2sin（2x+

π

3

）+a≤2+a=1，
∴a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，
（Ⅲ）∴將f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=f（x+

π

6

）=2sin[2（x+

π

6

）+

π

3

]-1=2sin（2x+

2π

3

）-1．
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x+

2π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，故當(dāng)2x+

2π

3

=

2π

3

時，函數(shù)f（x）取得最大值為

3

-1，
當(dāng)2x+

2π

3

=

3π

2

時，函數(shù)f（x）取得最小值為-2-1=-3．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域、值域，屬于基礎(chǔ)題．