Question

已知f（x）=

2x

x+1

，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x-m|

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題目條件對(duì)不等式化簡(jiǎn)得x≤

m

|x-m|

，由恒成立知m∉[1，2]，對(duì)m討論，將恒成立問(wèn)題化為最值問(wèn)題．

解答： 解：∵f（x）=

2x

x+1

，
∴不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x-m|

可化為

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

；
又∵x∈[1，2]，
則x≤

m

|x-m|

，
則x×|x-m|-m≤0，
∵當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≤

2m

(x+1)|x-m|

恒成立，
∴m∉[1，2]．
①當(dāng)m＜1時(shí)，x²-mx-m≤0在[1，2]上恒成立，
∵g（x）=x²-mx-m在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴g（2）=4-3m≤0，則m≥

4

3

，不成立．
②當(dāng)m＞2時(shí)，x²-mx+m≥0在[1，2]上恒成立，
（Ⅰ）當(dāng)2＜m＜4時(shí)，g（x）=x²-mx+m在[1，2]上的最小值為
g（

m

2

）=（

m

2

）²-m×

m

2

+m=m-

m2

4

≥0
解得，2＜m＜4．
（Ⅱ）當(dāng)m≥4時(shí)，g（x）=x²-mx+m在[1，2]上單調(diào)遞減；
∴g（2）=4-m≥0，則m=4．
綜上所述，2＜m≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生化簡(jiǎn)的能力，轉(zhuǎn)化的思想及分類討論的思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．