Question

11．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與兩條平行直線l₁：y=x+a與l₂：y=x-a相交所得的平行四邊形的面積為6b²．則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 將直線y=x+a代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，再由兩平行直線的距離公式，結(jié)合平行四邊形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用雙曲線的離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由y=x+a代入雙曲線的方程，可得
（b²-a²）x²-2a³x-a⁴-a²b²=0，
設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{2{a}^{3}}{^{2}-{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
由弦長公式可得|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}-^{2}}）^{2}-\frac{4（{a}^{4}+{a}^{2}^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
由兩平行直線的距離公式可得d=$\frac{2a}{\sqrt{2}}$，
由題意可得6b²=2$\sqrt{2}$•$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$•$\frac{2a}{\sqrt{2}}$，
化為a²=3b²，又b²=c²-a²，
可得c²=$\frac{4}{3}$a²，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意直線和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及兩平行直線的距離公式，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．