Question

1．在△ABC中，若a²+b²=c²+ab，且a+b=20，求△ABC周長(zhǎng)的最小值和面積的最大值，并指出此時(shí)三角形的形狀．

Answer 1

分析 由條件利用余弦定理求得C=$\frac{π}{3}$，再利用基本不等式求得ab的最大值以及c的最小值，可得△ABC周長(zhǎng)的最小值和面積的最大值，根據(jù)等號(hào)成立條件求得此時(shí)三角形的形狀．

解答 解：△ABC中，若a²+b²=c²+ab，則cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵a+b=20≥2$\sqrt{ab}$，∴ab≤100，當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，取等號(hào)，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}-2ab•cosC}$=$\sqrt{{（a+b）}^{2}-3ab}$=$\sqrt{400-3ab}$≥$\sqrt{400-300}$=10，
故△ABC周長(zhǎng)的最小值為a+b+c=20+10=30，
面積的最大值為$\frac{1}{2}$ab•sinC=50•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=25$\sqrt{3}$，
此時(shí)，△ABC的三邊相等，都等于10，△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．