Question

已知函數(shù)f（x）=2ax³-9x²+6（a-2）x+2，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f'（x）=6ax²-18x+6a-12，f'（1）=6a-18+6a-12=0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f'（x）=12x²-18x=6（2x-3），由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2ax³-9x²+6（a-2）x+2，
∴f'（x）=6ax²-18x+6a-12．…（2分）
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f'（1）=0，
∴f'（1）=6a-18+6a-12=0，∴實(shí)數(shù)a=

5

2

．…（4分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=

5

2

時(shí)，f（x）取得極小值，故a=

5

2

．…（6分）
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=4x³-9x²+2．
∵f'（x）=12x²-18x=6（2x-3），∴f′(

3

2

)=0．…（8分）
∵在區(qū)間[0，

3

2

)上，f'（x）＜0；在區(qū)間(

3

2

，3]上，f'（x）＞0，
∴在區(qū)間[0，

3

2

)上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
在區(qū)間(

3

2

，3]上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．（10分）
∴f(x)最小值=f(x)極小值=f(

3

2

)=4(

3

2

)3-9(

3

2

)2+2=-

19

4

．…（11分）
∵f（0）=2，f（3）=4×3³-9×3²+2=29，
∴f（x）_最大值=29．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．