已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F.
(Ⅰ)若傾斜角為
π
3
的直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)F且交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.
(I)由題意可得,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(1,0),由直線(xiàn)的斜角為
π
3
可知直線(xiàn)AB的斜率為
3

∴直線(xiàn)AB的方程為y=
3
(x-1)

聯(lián)立方程
y=
3
(x-1)
y2=4x
可得,3x2-10x+3=0
解可得,x1=3或x2=
1
3

由拋物線(xiàn)的定義可知,|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=
16
3

(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)AB得方程為x=ky+1,線(xiàn)段AB中點(diǎn)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2
聯(lián)立方程
x=ky+1
y2=4x
可得y2-4ky-4=0
∴y1+y2=4k,x1+x2=k(y1+y2)+2=4k2+2
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,x=
x1+x2
2
=1+2k2,y=
y1+y2
2
=2k
消去k可得點(diǎn)M的軌跡方程,y2=2(x-1)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)M作斜率為k的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P,AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)E(x0,0).
(1)求k的取值范圍;
(2)求證:x0>3;
(3)△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)
y
2
 
=4x
的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)A(4,4)作直線(xiàn)l:x=-1垂線(xiàn),垂足為M,則∠MAF的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為
x-2y+4=0
x-2y+4=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x,焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)P(m,n)在拋物線(xiàn)上移動(dòng),Q是OP的中點(diǎn),M是FQ的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)求
nm+3
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)2x+y-4=0相交于A、B兩點(diǎn),拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,那么|
FA
|+|
FB
|
=
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y2=4x,其焦點(diǎn)為F,P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),定點(diǎn)A(6,3),則|PA|+|PF|的最小值是
7
7

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