Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{2^{-x}}+1，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}\right.$，若方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1）有且僅有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）與y=log_a（x+2）的函數(shù)圖象，根據(jù)交點個數(shù)判斷函數(shù)值的大小關系，列出不等式組解出．

解答 解：∵當x＞0時，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在（0，+∞）上是周期為1的函數(shù)，
做出y=f（x）與y=log_a（x+2）的函數(shù)圖象，則兩函數(shù)圖象有2個交點，

∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}2＞-1}\\{lo{g}_{a}3≤-1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$．
故答案為：$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關系，函數(shù)周期性的應用，屬于中檔題．