Question

14．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差d不為零的等差數(shù)列{a_n}，運用等比數(shù)列中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得d=2，進而得到所求通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡計算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)公差d不為零的等差數(shù)列{a_n}，
a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
可得a₂²=a₁a₅，
即為（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1（n為正整數(shù)）；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n項和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$（n為正整數(shù)）．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用等比數(shù)列中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．