Question

給出下列函數(shù)：
①f（x）=sin（

π

2

-2x）；
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）=sinxcosx；
④f（x）=sin²x；
⑤f（x）=|cos2x|
其中，以π為最小正周期且為偶函數(shù)的是

①④

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與倍角公式、利用奇偶函數(shù)的概念對(duì)①②③④⑤逐個(gè)判斷即可．

解答：解：①f（x）=sin（

π

2

-2x）=cos2x，其周期T=

2π

2

=π，滿足f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x）是偶函數(shù)，故①符合；
②f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），其周期T=2π≠π，故②不滿足題意；
③f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，f（-x）=

1

2

sin（-2x）=-sin2x=-sin2x=-f（x），是奇函數(shù)，故③不滿足題意；
④f（x）=sin²x=

1-cos2x

2

，是以π為最小正周期的偶函數(shù)，故④符合題意；
⑤f（x）=|cos2x|是偶函數(shù)，但其周期為

π

2

，故⑤不滿足題意；
綜上所述，以π為最小正周期且為偶函數(shù)的是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與倍角公式，考查函數(shù)奇偶性的判斷與周期的求法，屬于中檔題．