Question

16．如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AB為直徑的圓O（O為圓心）上，AB∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，且AB=2，AD=EF=1
（Ⅰ）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥面DAF；
（Ⅱ）求證：AF⊥面CBF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證AF⊥平面FBC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面FBC內(nèi)兩相交直線垂直，而BC⊥AF，BF⊥AF，BC∩BF=B，滿足定理?xiàng)l件；
（Ⅱ）欲證OM∥平面DAF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OM與平面DAF內(nèi)一直線平行即可，取FD中點(diǎn)N，連接MN、AN，易得OM∥ON，找出了定理的條件．

解答 解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
BC?平面ABCD，而四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，
∴BC⊥AF，
∵BF⊥AF，BC∩BF=B，
∴AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）取FD中點(diǎn)N，連接MN、AN，則MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD，
又四邊形ABCD為矩形，
∴MN∥OA，且MN=OA，
∴四邊形AOMN為平行四邊形，
∴OM∥AN，
又∵OM?平面DAF，AN?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．